微积分学示例

$\int \frac{x - 2}{3 x + 6} d x$

解题步骤 1

用 $x - 2$ 除以 $3 x + 6$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$3 x$

$6$

$x$

$2$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

					$\frac{1}{3}$
	$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			+	$x$	+	$2$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 2$ 中的所有符号

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$
					-	$4$

解题步骤 1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int \frac{1}{3} - \frac{4}{3 x + 6} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{3} d x + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x + C + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x + C - \int \frac{4}{3 x + 6} d x$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x + C - (4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x)$

解题步骤 6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x$

解题步骤 7

使 $u = 3 x + 6$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = 3 x + 6$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $3 x + 6$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 6]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $3 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 7.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 7.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 7.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 7.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1.4.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 7.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

解题步骤 8.2

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 u} d u$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x + C - 4 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{1}{3} x + C + \frac{- 4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 10.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 11

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 12

化简。

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| u |) + C$

解题步骤 13

使用 $3 x + 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| 3 x + 6 |) + C$

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