微积分学示例

$\frac{\ln (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\sin (x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

合并。

$\frac{x (\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{x \frac{\sin (x)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{\sin (x)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{\sin (x) + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x) + x (- \ln (x) \cos (x))}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sin (x) - x \ln (x) \cos (x)}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$\frac{- x \cos (x) \ln (x) + \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 7.3

从 $- x \cos (x) \ln (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x)) + \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 7.4

从 $\sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x)) - 1 (- \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 7.5

从 $- (x \cos (x) \ln (x)) - 1 (- \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 7.6

将 $- (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))$ 重写为 $- 1 (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))$ 。

$\frac{- 1 (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

解题步骤 7.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x \cos (x) \ln (x) - \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

微积分学 示例

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