微积分学示例

$(1 - x) y^{1} = y^{2}$

解题步骤 1

化简。

$(1 - x) y = y^{2}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} ((1 - x) y) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = 1 - x$ 且 $g (y) = y$ 。

$(1 - x) \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 - x) \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

解题步骤 3.2.2

将 $1 - x$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

解题步骤 3.2.3

根据加法法则， $1 - x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x]$ 。

$1 - x + y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x])$

解题步骤 3.2.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 - x + y (0 + \frac{d}{d y} [- x])$

解题步骤 3.2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- x]$ 相加。

$1 - x + y \frac{d}{d y} [- x]$

解题步骤 3.2.6

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [x]$ 。

$1 - x + y (- \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$1 - x + y (- x')$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$- y x' - x + 1$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- y x' - x + 1 = 2 y$

解题步骤 6

求解 $x'$ 。

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解题步骤 6.1

将所有不包含 $x'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$- y x' + 1 = 2 y + x$

解题步骤 6.1.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- y x' = 2 y + x - 1$

解题步骤 6.2

将 $- y x' = 2 y + x - 1$ 中的每一项除以 $- y$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $- y x' = 2 y + x - 1$ 中的每一项都除以 $- y$ 。

$\frac{- y x'}{- y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y x'}{y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

解题步骤 6.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y x'}{y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

解题步骤 6.2.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1

约去公因数。

$x' = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2

重写表达式。

$x' = \frac{2}{- 1} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3

移动 $\frac{2}{- 1}$ 中分母的负号。

$x' = - 1 \cdot 2 + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

解题步骤 6.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x' = - 2 + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

解题步骤 6.2.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$x' = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{- 1}{- y}$

解题步骤 6.2.3.1.4

将两个负数相除得到一个正数。

$x' = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$

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