微积分学示例

$\arctan (\frac{π}{2} - \frac{t}{10})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \arctan (t)$ 且 $g (t) = \frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (\frac{d}{d t} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{π}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{π}{2}$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$

解题步骤 2.4

因为 $- \frac{1}{10}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{t}{10}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.5

合并分数。

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解题步骤 2.5.1

将 $\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{10}$ 。

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}) \cdot 10} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.5.2

将 $10$ 移到 $1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{10 \cdot (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{10 (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})} \cdot 1$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{10 (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$- \frac{1}{10 \cdot 1 + 10 {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{10 + 10 {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$

微积分学 示例

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