微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 31 x}{8 x^{4} - 31 x^{2} + 12}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{4}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{5}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x^{5}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (2 x)}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (2 x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (2 x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{1} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.1.2.4

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.2

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.2.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.3

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $- 31 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{x \cdot - 31}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{x \cdot - 31}{x \cdot x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.3.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{x \cdot - 31}{x \cdot x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.3.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{- 31}{x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.4

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $8$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $- 31 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{x^{2} \cdot - 31}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{x^{2} \cdot - 31}{x^{2} x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{x^{2} \cdot - 31}{x^{2} x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{- 31}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 2.2.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 - \frac{31}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{31}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 0}{8 - \frac{31}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{31}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 0}{8 - 0 + \frac{12}{x^{4}}}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{12}{x^{4}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 0}{8 - 0 + 0}$

解题步骤 6

因为当其分母趋于一个常数时其分子无限大，所以分式 $\frac{2 x + 3 - 0}{8 - 0 + 0}$ 趋于无穷大。

$\infty$

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