微积分学示例

$\int \frac{4 t}{t - t^{2}} d t$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $t - t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{4 t}{t^{1} - t^{2}} d t$

解题步骤 1.1.2

从 $t^{1}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 - t^{2}} d t$

解题步骤 1.1.3

从 $- t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 + t (- t)} d t$

解题步骤 1.1.4

从 $t \cdot 1 + t (- t)$ 中分解出因数 $t$ 。

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

解题步骤 1.2

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

解题步骤 2

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{1}{1 - t} d t$

解题步骤 3

使 $u = 1 - t$ 。然后使 $d u = - d t$ ，以便 $- d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 1 - t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 3.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 3.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

$- 1$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 4

将负号移到分数的前面。

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 7

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 8

化简。

$- 4 \ln (| u |) + C$

解题步骤 9

使用 $1 - t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 \ln (| 1 - t |) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$