微积分学示例

$\sin (x) \cdot e^{x}$

解题步骤 1

将 $\sin (x) \cdot e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

解题步骤 5

将 $e^{x}$ 和 $\cos (x)$ 重新排序。

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

解题步骤 6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 8

通过相乘进行化简。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 8.2

将 $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 9

求解 $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ ，我们发现 $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ 。

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

解题步骤 10

将 $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ 重写为 $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

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