微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

解题步骤 1.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

解题步骤 1.2.5.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

解题步骤 1.3

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

解题步骤 1.4.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x^{3} + 0 + \frac{3}{3} x^{2}$

解题步骤 1.4.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

解题步骤 1.4.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.5.1

约去公因数。

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

解题步骤 1.4.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + 0 + x^{2}$

解题步骤 1.5

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{3} + x^{2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $3 x^{2} + 2 x$ 。

$3 x^{2} + 2 x$

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