微积分学示例

$y = \cos (θ) \cot (θ)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ 等于 $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ，其中 $f (θ) = \cos (θ)$ 且 $g (θ) = \cot (θ)$ 。

$\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cot (θ)] + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

解题步骤 2

$\cot (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $- \csc^{2} (θ)$ 。

$\cos (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

解题步骤 3

$\cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $- \sin (θ)$ 。

$\cos (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) (- \sin (θ))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$- \csc^{2} (θ) \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\csc (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

解题步骤 4.2.2

对 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

解题步骤 4.2.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{\sin^{2} (θ)} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

解题步骤 4.2.4

组合 $\cos (θ)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ 。

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - \cot (θ) \sin (θ)$

解题步骤 4.2.5

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.2.5.1

添加圆括号。

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - (\cot (θ) \sin (θ))$

解题步骤 4.2.5.2

将 $- \cot (θ) \sin (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - (\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ))$

解题步骤 4.2.5.3

约去公因数。

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - \cos (θ)$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

从 $\sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} - \cos (θ)$

解题步骤 4.3.2

分离分数。

$- (\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) - \cos (θ)$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 转换成 $\cot (θ)$ 。

$- (\frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ)) - \cos (θ)$

解题步骤 4.3.4

将 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 转换成 $\csc (θ)$ 。

$- \csc (θ) \cot (θ) - \cos (θ)$

微积分学 示例

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