微积分学示例

$\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

解题步骤 2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

解题步骤 2.2

对 $\sqrt{4 + e^{t}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

解题步骤 2.3

对 $\sqrt{4 + e^{t}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} {\sqrt{4 + e^{t}}}^{1}} d t]$

解题步骤 2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1 + 1}} d t]$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}} d t]$

解题步骤 2.6

将 ${\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}$ 重写为 $4 + e^{t}$ 。

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解题步骤 2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 + e^{t}}$ 重写成 ${(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{({(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

解题步骤 2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

解题步骤 2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

解题步骤 2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

解题步骤 2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{1}} d t]$

解题步骤 2.6.5

化简。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t]$

解题步骤 3

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

解题步骤 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

解题步骤 5

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + e^{\ln (x)}}$

解题步骤 6

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (4 + x)}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot 4 + x \cdot x}$

解题步骤 8.2

合并项。

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解题步骤 8.2.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 \cdot x + x \cdot x}$

解题步骤 8.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x}$

解题步骤 8.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x^{1}}$

解题步骤 8.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1 + 1}}$

解题步骤 8.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{2}}$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x^{2} + 4 x}$

解题步骤 8.4

从 $x^{2} + 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + 4 x}$

解题步骤 8.4.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + x \cdot 4}$

解题步骤 8.4.3

从 $x \cdot x + x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (x + 4)}$

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