微积分学示例

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2} + 48$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2} + 48$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 16$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 48$ 。

$36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [48 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48 x$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$36 x^{2} - 96 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$36 x^{2} - 96 x + 48 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 48$

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