微积分学示例

$\int e^{2 x} \sin (x) d x$

解题步骤 1

将 $e^{2 x}$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\int \sin (x) e^{2 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (x)$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

解题步骤 4.3

将 $e^{2 x}$ 和 $\cos (x)$ 重新排序。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (x)$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2} \cdot - 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot - 1$ 移到积分外。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

解题步骤 7.2

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

解题步骤 7.5

将 $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

解题步骤 7.6

乘。

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解题步骤 7.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

解题步骤 7.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 7.6.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 7.7

将 $\frac{- 1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 7.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 8

求解 $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ ，我们发现 $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ 。

$\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简答案。

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解题步骤 9.1.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{5}{4}$ 。

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

解题步骤 9.1.2

将 $(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ 重写为 $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ 。

$(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

解题步骤 9.1.3

化简。

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解题步骤 9.1.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (x)$ 。

$(\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

解题步骤 9.1.3.2

组合 $\frac{\sin (x)}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

解题步骤 9.1.3.3

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

解题步骤 9.1.3.4

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{\cos (x)}{4}$ 。

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

解题步骤 9.1.4

将 $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ 中的因式重新排序。

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

解题步骤 9.2

将 $(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$ 重写为 $(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ 。

$(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

解题步骤 9.3

将 $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ 中的因式重新排序。

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

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