微积分学示例

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{1}{4} x) - \cot (a n \cdot 5 x) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (a n \cdot (5 x)) d x$

解题步骤 1.2

将 $5$ 移到 $a n$ 的左侧。

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 3

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) + C + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = \frac{x}{4}$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{4} d x$ ，以便 $4 d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = \frac{x}{4}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\frac{x}{4}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

解题步骤 5.1.2

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{4}$ 。

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 4) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 6.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \cdot 4 d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 6.3

将 $4$ 移到 $\sin (u_{1})$ 的左侧。

$\tan (x) + C + 2 \int 4 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 7

由于 $4$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\tan (x) + C + 2 (4 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 8

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\tan (x) + C + 8 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 9

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $- \cos (u_{1})$ 。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) + \int - \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (5 a n x) d x$

解题步骤 11

使 $u_{2} = 5 a n x$ 。然后使 $d u_{2} = 5 a n d x$ ，以便 $\frac{1}{5 a n} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{2} = 5 a n x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $5 a n x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 a n x]$

解题步骤 11.1.2

因为 $5 a n$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 a n x$ 对 $x$ 的导数是 $5 a n \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 a n \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 a n \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 a n$

解题步骤 11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (u_{2}) \frac{1}{5 a n} d u_{2}$

解题步骤 12

组合 $\cot (u_{2})$ 和 $\frac{1}{5 a n}$ 。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \frac{\cot (u_{2})}{5 a n} d u_{2}$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{5 a n}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5 a n}$ 移到积分外。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - (\frac{1}{5 a n} \int \cot (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 14

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ 。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{1}{5 a n} (\ln (| \sin (u_{2}) |) + C)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简。

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{1}{5 a n} \ln (| \sin (u_{2}) |) + C$

解题步骤 15.2

组合 $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ 和 $\frac{1}{5 a n}$ 。

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $\frac{x}{4}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

解题步骤 16.2

使用 $5 a n x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{1}{4} x) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$

微积分学 示例

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