微积分学示例

$(x^{2} + 1) \sin (3 x - 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = \sin (3 x - 1)$ 。

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\sin (3 x - 1)] + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 1$ 。

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$(x^{2} + 1) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.3

使用 $3 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} + 1) (\cos (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 + 0) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) \cdot 3 + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 移到 $(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1)$ 的左侧。

$3 \cdot ((x^{2} + 1) \cos (3 x - 1)) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x + 0)$

解题步骤 3.10

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(3 x^{2} + 3 \cdot 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} + 3) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\cos (3 x - 1) (3 x^{2} + 3) + 2 x \sin (3 x - 1)$

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