微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = 6 x$ 。然后使 $d u_{1} = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = 6 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

解题步骤 6

组合 $\cos (u_{1})$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{6 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

解题步骤 8.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{18} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

解题步骤 9

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\sin (u_{1})$ 。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

解题步骤 10

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (4 x) d x$

解题步骤 11

使 $u_{2} = 4 x$ 。然后使 $d u_{2} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{2} = 4 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 11.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

解题步骤 12

组合 $\sin (u_{2})$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 14.2

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 14.2.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 14.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 14.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 1}{1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 14.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 15

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $- \cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - (- \cos (u_{2}) + C)$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简。

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) - - \cos (u_{2}) + C$

解题步骤 16.2

化简。

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解题步骤 16.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + 1 \cos (u_{2}) + C$

解题步骤 16.2.2

将 $\cos (u_{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + \cos (u_{2}) + C$

解题步骤 17

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 17.1

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (u_{2}) + C$

解题步骤 17.2

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

解题步骤 18

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

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