微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{14} 5 i^{2} + 13$

解题步骤 1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{14} 5 i^{2} + 13 = 5 \sum_{k = 1}^{14} i^{2} + \sum_{k = 1}^{14} 13$

解题步骤 2

计算 $5 \sum_{k = 1}^{14} i^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(5) (\frac{14 (14 + 1) (2 \cdot 14 + 1)}{6})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $14$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{14 \cdot 15 (2 \cdot 14 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $14$ 乘以 $15$ 。

$5 \frac{210 (2 \cdot 14 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$5 \frac{210 (28 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $28$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{210 \cdot 29}{6}$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $210$ 乘以 $29$ 。

$5 (\frac{6090}{6})$

解题步骤 2.3.2.2

用 $6090$ 除以 $6$ 。

$5 \cdot 1015$

解题步骤 2.3.2.3

将 $5$ 乘以 $1015$ 。

$5075$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{14} 13$ 。

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解题步骤 3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3.2

将值代入公式中。

$(13) (14)$

解题步骤 3.3

将 $13$ 乘以 $14$ 。

$182$

解题步骤 4

将求和的总和相加。

$5075 + 182$

解题步骤 5

将 $5075$ 和 $182$ 相加。

$5257$

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