微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{3}{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 6

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 7.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 10

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - (5 \int \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\csc^{2} (x)$ 。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - (5 \int \csc^{2} (x) d x)$

解题步骤 11.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 5 \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 12

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 5 (- \cot (x) + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

$3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} - 5 (- \cot (x)) + C$

解题步骤 13.2

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} + 5 \cot (x) + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} + 5 \cot (x) + C$

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