微积分学示例

$\int \frac{12 x^{4} + 14 x^{3} + x^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $12 x^{4} + 14 x^{3} + x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $12 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2}) + 14 x^{3} + x^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.2

从 $14 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2}) + x^{2} (14 x) + x^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.3

乘以 $1$ 。

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2}) + x^{2} (14 x) + x^{2} \cdot 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.4

从 $x^{2} (12 x^{2}) + x^{2} (14 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2} + 14 x) + x^{2} \cdot 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.5

从 $x^{2} (12 x^{2} + 14 x) + x^{2} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2} + 14 x + 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2} + 14 x + 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.2.2

用 $12 x^{2} + 14 x + 1$ 除以 $1$ 。

$\int 12 x^{2} + 14 x + 1 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 12 x^{2} d x + \int 14 x d x + \int d x$

解题步骤 3

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int x^{2} d x + \int 14 x d x + \int d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 14 x d x + \int d x$

解题步骤 5

由于 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $14$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 \int x d x + \int d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

解题步骤 8.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 14 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

解题步骤 8.2

化简。

$4 x^{3} + 7 x^{2} + x + C$

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