微积分学示例

$x^{4} - 5 x^{3} y^{2} + 2 y^{4}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{4} - 5 x^{3} y^{2} + 2 y^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3} y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 5 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{3} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 5 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 5 y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 y^{4}]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$4 x^{3} - 15 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}]$

解题步骤 3

因为 $2 y^{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y^{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 15 y^{2} x^{2} + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $4 x^{3} - 15 y^{2} x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} - 15 y^{2} x^{2}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$4 x^{3} - 15 x^{2} y^{2}$

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