微积分学示例

$\int \frac{x^{3}}{x + 3} d x$

解题步骤 1

使 $u = x + 3$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{{(u - 3)}^{3}}{u} d u$

解题步骤 2

使用二项式定理。

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{u} d u$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将幂重写为乘积形式。

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) + {(- 3)}^{3}}{u} d u$

解题步骤 3.2

将幂重写为乘积形式。

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 {(- 3)}^{2}}{u} d u$

解题步骤 3.3

将幂重写为乘积形式。

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

解题步骤 3.4

移动 $u^{2}$ 。

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 3 u^{2} + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

解题步骤 3.5

移动 $u$ 。

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 3 u^{2} + 3 \cdot - 3 \cdot - 3 u - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

解题步骤 3.6

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 3 \cdot - 3 \cdot - 3 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

解题步骤 3.7

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} - 9 \cdot - 3 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

解题步骤 3.8

将 $- 9$ 乘以 $- 3$ 。

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

解题步骤 3.9

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u + 9 \cdot - 3}{u} d u$

解题步骤 3.10

将 $9$ 乘以 $- 3$ 。

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 27}{u} d u$

解题步骤 4

用 $u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 27$ 除以 $u$ 。

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解题步骤 4.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u$

$0$

$u^{3}$

$9 u^{2}$

$27 u$

$27$

解题步骤 4.2

将被除数中的最高阶项 $u^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$

解题步骤 4.3

将新的商式项乘以除数。

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			+	$u^{3}$	+	$0$

解题步骤 4.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u^{3} + 0$ 中的所有符号

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$

解题步骤 4.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$

解题步骤 4.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$

解题步骤 4.7

将被除数中的最高阶项 $- 9 u^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$

解题步骤 4.8

将新的商式项乘以除数。

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					-	$9 u^{2}$	+	$0$

解题步骤 4.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 9 u^{2} + 0$ 中的所有符号

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$

解题步骤 4.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$

解题步骤 4.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$

解题步骤 4.12

将被除数中的最高阶项 $27 u$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$

解题步骤 4.13

将新的商式项乘以除数。

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							+	$27 u$	+	$0$

解题步骤 4.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $27 u + 0$ 中的所有符号

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							-	$27 u$	-	$0$

解题步骤 4.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							-	$27 u$	-	$0$
									-	$27$

解题步骤 4.16

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int u^{2} - 9 u + 27 - \frac{27}{u} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{2} d u + \int - 9 u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 9 u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

解题步骤 7

由于 $- 9$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 9$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 \int u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 27 u + C + \int - \frac{27}{u} d u$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C + \int - \frac{27}{u} d u$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - \int \frac{27}{u} d u$

解题步骤 12

由于 $27$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $27$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - (27 \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 13

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - 27 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 14

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - 27 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 15

化简。

$\frac{u^{3}}{3} - \frac{9 u^{2}}{2} + 27 u - 27 \ln (| u |) + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{9}{2} u^{2} + 27 u - 27 \ln (| u |) + C$

解题步骤 17

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(x + 3)}^{3} - \frac{9}{2} {(x + 3)}^{2} + 27 (x + 3) - 27 \ln (| x + 3 |) + C$

微积分学 示例

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