微积分学示例

$\frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 1

将 $\frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x - 1)}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(x - 1)}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {(x - 1)}^{3} x^{- 3} d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int {u_{1}}^{3} {(u_{1} + 1)}^{- 3} d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = u_{1} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = u_{1} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $u_{1} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $u_{1} + 1$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 6.1.4

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int {(u_{2} - 1)}^{3} {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

使用二项式定理。

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.2

将幂重写为乘积形式。

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.3

将幂重写为乘积形式。

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.4

将幂重写为乘积形式。

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) - - - 1) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.5

运用分配律。

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1)) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.6

运用分配律。

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1) {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.7

运用分配律。

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.8

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.9

移动 $u_{2}$ 。

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.10

移动括号。

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{2}}^{3 - 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.12

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\int {u_{2}}^{0} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.13

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int 1 + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.14

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{2 - 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.16

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.17

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} - 3 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.18

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.19

对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- 3}) - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{1 - 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.21

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.22

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.23

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.24

将 $1$ 和 $- 3 {u_{2}}^{- 1}$ 重新排序。

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 1 + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.25

移动 $1$ 。

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} + 1 - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.26

移动 $1$ 。

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} + 1 d u_{2}$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} d u_{2} + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

解题步骤 9

由于 $- 3$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- 3 \int {u_{2}}^{- 1} d u_{2} + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

解题步骤 10

${u_{2}}^{- 1}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

解题步骤 11

由于 $3$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

解题步骤 12

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- {u_{2}}^{- 1}$ 。

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

解题步骤 13

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

解题步骤 14

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 3}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{- 2}$ 。

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} {u_{2}}^{- 2} + C) + \int d u_{2}$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

组合 ${u_{2}}^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{{u_{2}}^{- 2}}{2} + C) + \int d u_{2}$

解题步骤 15.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${u_{2}}^{- 2}$ 移动到分母。

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + C) + \int d u_{2}$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + C) + u_{2} + C$

解题步骤 17

化简。

$- 3 \ln (| u_{2} |) - \frac{3}{u_{2}} + \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + u_{2} + C$

解题步骤 18

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 18.1

使用 $u_{1} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 3 \ln (| u_{1} + 1 |) - \frac{3}{u_{1} + 1} + \frac{1}{2 {(u_{1} + 1)}^{2}} + u_{1} + 1 + C$

解题步骤 18.2

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 3 \ln (| x - 1 + 1 |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 \ln (| x + 0 |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

解题步骤 19.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

解题步骤 19.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x + 0} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

解题步骤 19.4

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

解题步骤 19.5

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 {(x + 0)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

解题步骤 19.6

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x - 1 + 1 + C$

解题步骤 19.7

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + 0 + C$

解题步骤 19.8

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$

解题步骤 20

答案是函数 $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$

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