微积分学示例

$e^{- 3 x} - 4 x + 50$

解题步骤 1

根据加法法则， $e^{- 3 x} - 4 x + 50$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 3 x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 2.1.3

使用 $- 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 2.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 2.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 3 x} \cdot - 3 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 2.5

将 $- 3$ 移到 $e^{- 3 x}$ 的左侧。

$- 3 e^{- 3 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 e^{- 3 x} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 e^{- 3 x} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 3 e^{- 3 x} - 4 + \frac{d}{d x} [50]$

解题步骤 4

因为 $50$ 对于 $x$ 是常数，所以 $50$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 e^{- 3 x} - 4 + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 3 e^{- 3 x} - 4$ 和 $0$ 相加。

$- 3 e^{- 3 x} - 4$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$- 4 - 3 e^{- 3 x}$

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