微积分学示例

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$

解题步骤 1

对 $2 x^{2} + x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

解题步骤 1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$d = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$e = 0 - \frac{1}{8}$

解题步骤 1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{8}$ 。

$e = - \frac{1}{8}$

解题步骤 1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2

在方程 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ 中，用 $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 代替 $2 x^{2} + x$ 。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9$

解题步骤 3

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{8}$ 的方法来将 $- \frac{1}{8}$ 移到等式右边。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}$

解题步骤 4

对 $2 y^{2} + y$ 进行配方。

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解题步骤 4.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

解题步骤 4.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 4.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$d = \frac{1}{4}$

解题步骤 4.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$e = 0 - \frac{1}{8}$

解题步骤 4.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{8}$ 。

$e = - \frac{1}{8}$

解题步骤 4.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 。

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

解题步骤 5

在方程 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ 中，用 $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 代替 $2 y^{2} + y$ 。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}$

解题步骤 6

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{8}$ 的方法来将 $- \frac{1}{8}$ 移到等式右边。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

解题步骤 7

对 $2 z^{2} + z$ 进行配方。

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解题步骤 7.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

解题步骤 7.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 7.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 7.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$d = \frac{1}{4}$

解题步骤 7.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 7.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 7.4.2

化简右边。

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解题步骤 7.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 7.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$e = 0 - \frac{1}{8}$

解题步骤 7.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{8}$ 。

$e = - \frac{1}{8}$

解题步骤 7.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 。

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

解题步骤 8

在方程 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ 中，用 $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 代替 $2 z^{2} + z$ 。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

解题步骤 9

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{8}$ 的方法来将 $- \frac{1}{8}$ 移到等式右边。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

解题步骤 10

化简 $9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ 。

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解题步骤 10.1

在公分母上合并分子。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1 + 1 + 1}{8}$

解题步骤 10.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{2 + 1}{8}$

解题步骤 10.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{3}{8}$

解题步骤 10.3

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

解题步骤 10.4

组合 $9$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

解题步骤 10.5

在公分母上合并分子。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8}$

解题步骤 10.6

化简分子。

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解题步骤 10.6.1

将 $9$ 乘以 $8$ 。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{72 + 3}{8}$

解题步骤 10.6.2

将 $72$ 和 $3$ 相加。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{75}{8}$

解题步骤 11

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