微积分学示例

$\int (\frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{2 \cdot - 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 4

展开 $(- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int - 4 x \cdot x^{- 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int - 4 (x^{1} x^{- 2}) - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int - 4 x^{1 - 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 4.4

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5 - 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 4.6

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{3} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 4.7

将 $- 4 x^{- 1}$ 和 $- 4 x^{3}$ 重新排序。

$\int - 4 x^{3} - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 4 x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 6

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$- 4 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 8

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 9

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \int 5 e^{7 x} d x$

解题步骤 10

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{7 x} d x$

解题步骤 11

使 $u = 7 x$ 。然后使 $d u = 7 d x$ ，以便 $\frac{1}{7} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u = 7 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $7 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 11.1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7$

解题步骤 11.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

解题步骤 12.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

解题步骤 14

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $5$ 。

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} \int e^{u} d u$

解题步骤 15

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} (e^{u} + C)$

解题步骤 16

化简。

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{u} + C$

解题步骤 17

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{7 x} + C$

微积分学 示例

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