微积分学示例

$4 x^{- 2} + \frac{1}{4} x^{2} + 4$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 x^{- 2} + \frac{1}{4} x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{- 2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$- 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 8 x^{- 3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 8 x^{- 3} + \frac{1}{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- 8 x^{- 3} + \frac{2}{4} x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{2}{4}$ 和 $x$ 。

$- 8 x^{- 3} + \frac{2 x}{4} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 8 x^{- 3} + \frac{2 (x)}{4} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 8 x^{- 3} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$- 8 x^{- 3} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$- 8 x^{- 3} + \frac{x}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 8 x^{- 3} + \frac{x}{2} + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{x}{2} + 0$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 8}{x^{3}} + \frac{x}{2} + 0$

解题步骤 5.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{x^{3}} + \frac{x}{2} + 0$

解题步骤 5.2.3

将 $- \frac{8}{x^{3}} + \frac{x}{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{8}{x^{3}} + \frac{x}{2}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{x}{2} - \frac{8}{x^{3}}$

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