微积分学示例

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 4 x^{2} - 3$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x^{2} - 3$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

解题步骤 1.3

使用 $4 x^{2} - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

解题步骤 2

根据加法法则， $4 x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + 0)$

解题步骤 4.2

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

合并项。

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解题步骤 5.1.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x$

解题步骤 5.1.2

组合 $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{8 x}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$\frac{8 x}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

解题步骤 5.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.1

将 ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ 重写为 $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ 。

$\frac{8 x}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

解题步骤 5.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

运用分配律。

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

解题步骤 5.3.2.2

运用分配律。

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

解题步骤 5.3.2.3

运用分配律。

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 5.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 5.3.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 5.3.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 5.3.3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 x}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 5.3.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 5.3.3.1.5

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 5.3.3.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 12 x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

解题步骤 5.3.4

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

解题步骤 5.3.5

从 $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $16 x^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

解题步骤 5.3.5.2

从 $- 24 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

解题步骤 5.3.5.3

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

解题步骤 5.3.5.4

从 $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

解题步骤 5.3.5.5

从 $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

解题步骤 5.4

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

约去公因数。

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

解题步骤 5.4.2.2

重写表达式。

$\frac{4 x}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

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