微积分学示例

$\int_{2}^{4} d x \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

解题步骤 1

计算 $\int_{2}^{4} d x$ 。

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解题步骤 1.1

应用常数不变法则。

$x]_{2}^{4} \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

解题步骤 1.2

代入并化简。

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解题步骤 1.2.1

计算 $x$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$((4) - 2) \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

解题步骤 1.2.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$2 \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

解题步骤 2

计算 $\int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$ 。

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解题步骤 2.1

由于 $\frac{1}{3 x}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3 x}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{3 x} \int_{x}^{2 x} y d y)$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{1}{2} y^{2}]_{x}^{2 x})$

解题步骤 2.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.1

化简。

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解题步骤 2.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x})$

解题步骤 2.3.1.2

组合 $\frac{1}{3 x}$ 和 $\frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x}$ 。

$2 \frac{\frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2

代入并化简。

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解题步骤 2.3.2.1

计算 $\frac{y^{2}}{2}$ 在 $2 x$ 处和在 $x$ 处的值。

$2 \frac{(\frac{{(2 x)}^{2}}{2}) - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{\frac{{(2 (x))}^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.2

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$2 \frac{\frac{2^{2} x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \frac{\frac{4 x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.4.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.4.2.2

约去公因数。

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.4.2.3

重写表达式。

$2 \frac{\frac{2 x^{2}}{1} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.4.2.4

用 $2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 \frac{2 x^{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.5

要将 $2 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \frac{2 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.6

组合 $2 x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \frac{\frac{2 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.7

在公分母上合并分子。

$2 \frac{\frac{2 x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{\frac{4 x^{2} - x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.9

从 $4 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$2 \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{3 x}$

解题步骤 2.3.2.2.10

将 $\frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{3 x}$ 重写为乘积形式。

$2 (\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{3 x})$

解题步骤 2.3.2.2.11

将 $\frac{3 x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3 x}$ 。

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (3 x)}$

解题步骤 2.3.2.2.12

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{3 x^{2}}{6 x}$

解题步骤 2.3.2.2.13

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.13.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 \frac{3 (x^{2})}{6 x}$

解题步骤 2.3.2.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.13.2.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 \frac{3 (x^{2})}{3 (2 x)}$

解题步骤 2.3.2.2.13.2.2

约去公因数。

$2 \frac{3 x^{2}}{3 (2 x)}$

解题步骤 2.3.2.2.13.2.3

重写表达式。

$2 \frac{x^{2}}{2 x}$

解题步骤 2.3.2.2.14

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.14.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 \frac{x \cdot x}{2 x}$

解题步骤 2.3.2.2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.14.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 \frac{x \cdot x}{x \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2.2.14.2.2

约去公因数。

$2 \frac{x \cdot x}{x \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2.2.14.2.3

重写表达式。

$2 \frac{x}{2}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$2 (\frac{1}{2} x)$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$2 \frac{x}{2}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $2$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{2 x}{2}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2}$

解题步骤 3.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x$

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