微积分学示例

$\int \sin (x) \sin (\cos (x)) d x$

解题步骤 1

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - 1 \sin (u) d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \sin (u) d u$

解题步骤 3

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- (- \cos (u) + C)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简。

$- - \cos (u) + C$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \cos (u) + C$

解题步骤 4.2.2

将 $\cos (u)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (u) + C$

解题步骤 5

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\cos (x)) + C$

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