微积分学示例

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} x^{3} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

解题步骤 1.1.2

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) - x^{2}}{x^{4}} d x$

解题步骤 1.1.3

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

解题步骤 1.1.4

从 $x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

解题步骤 1.1.5

从 $x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{4}} d x$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 3

展开 $(x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.5

化简。

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.7

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int x + 2 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int x + 2 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int x + 2 - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.10

移动 $2$ 。

$\int x - 1 x^{- 2} + 2 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$

解题步骤 9.2

重新排序项。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$

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