微积分学示例

$\int 5 x^{3} - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 x^{3} d x + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int x^{3} d x + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 6.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 7

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 9.2

通过将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 9.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 9.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

解题步骤 9.3.3

将负号移到分数的前面。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ 。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

解题步骤 11.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ 。

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 11.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4} + C$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{5}{4} x^{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + C$

微积分学 示例

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