微积分学示例

$\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{2}{15}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{15} x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

解题步骤 1.2.3

组合 $6$ 和 $\frac{2}{15}$ 。

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

解题步骤 1.2.4

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{12}{15}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

解题步骤 1.2.6

约去 $12$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

从 $12 x^{5}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

解题步骤 1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

解题步骤 1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

解题步骤 1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 (4 x^{3})$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{4}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{5}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.2.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.2.5

组合 $\frac{20}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.2.6

约去 $20$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $20 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.2.6.2.4

用 $4 x^{4}$ 除以 $1$ 。

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{4} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{4} - 12 (3 x^{2})$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 4 x^{4} - 36 x^{2}$

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