微积分学示例

$(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}} + \frac{2}{e}$

解题步骤 1

根据加法法则， $(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}} + \frac{2}{e}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$ 。

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e^{x}}$ 重写成 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + y^{2}$ 且 $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ 。

$(x + y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$(x + y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(x + y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.3.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.4

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $x + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.8

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.9

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2}) + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.10

组合 $e^{\frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 2.12

将 $e^{\frac{x}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

解题步骤 3

因为 $\frac{2}{e}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{e}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + y^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + y^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

解题步骤 4.2.2

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

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