微积分学示例

$\ln (\sec (2 x) + 6 \tan (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sec (2 x) + 6 \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)]$ 。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

解题步骤 3.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 移到 $\sec (2 x) \tan (2 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

解题步骤 4.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x))$ 的因式。

$(2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

解题步骤 6.3

乘以 $2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 。

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解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

解题步骤 6.3.2

组合 $\frac{2}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 和 $\sec (2 x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

解题步骤 6.3.3

组合 $\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 和 $\tan (2 x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

解题步骤 6.4

乘以 $6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 。

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解题步骤 6.4.1

组合 $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 和 $6$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + \frac{6}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \sec^{2} (x)$

解题步骤 6.4.2

组合 $\frac{6}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 和 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + \frac{6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

解题步骤 6.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

解题步骤 6.6

从 $2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.6.1

从 $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

解题步骤 6.6.2

从 $6 \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (3 \sec^{2} (x))}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

解题步骤 6.6.3

从 $2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (3 \sec^{2} (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x) + 3 \sec^{2} (x))}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

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