微积分学示例

$x^{3} y^{2} - 4 x y + 5 y^{3}$

解题步骤 1

根据加法法则， $x^{3} y^{2} - 4 x y + 5 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{3} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 4 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 y^{2} x^{2} - 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 y^{2} x^{2} - 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

解题步骤 3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{2} x^{2} - 4 y + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

解题步骤 4

因为 $5 y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 y^{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 y^{2} x^{2} - 4 y + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $3 y^{2} x^{2} - 4 y$ 和 $0$ 相加。

$3 y^{2} x^{2} - 4 y$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$3 x^{2} y^{2} - 4 y$

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