微积分学示例

${(x - 4)}^{2} + (y + 3) = 25$

解题步骤 1

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 ${(x - 4)}^{2}$ 。

$y + 3 = 25 - {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y = 25 - {(x - 4)}^{2} - 3$

解题步骤 1.3

从 $25$ 中减去 $3$ 。

$y = - {(x - 4)}^{2} + 22$

解题步骤 2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 22$

解题步骤 3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(4, 22)$

解题步骤 5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 5.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 6

求焦点。

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解题步骤 6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, \frac{87}{4})$

解题步骤 7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 4$

解题步骤 8

求准线。

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解题步骤 8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{89}{4}$

解题步骤 9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(4, 22)$

焦点： $(4, \frac{87}{4})$

对称轴： $x = 4$

准线： $y = \frac{89}{4}$

解题步骤 10

微积分学 示例

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