微积分学示例

$\int \frac{x^{7} \sqrt{x}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{x^{7} x^{\frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x^{7}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{x^{7 + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.2.2

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{x^{7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.2.3

组合 $7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{x^{\frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\int \frac{x^{\frac{7 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{x^{\frac{14 + 1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.2.5.2

将 $14$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{x^{\frac{15}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{5}$ 移动到分子。

$\int x^{\frac{15}{2}} x^{- 5} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.4

通过指数相加将 $x^{\frac{15}{2}}$ 乘以 $x^{- 5}$ 。

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解题步骤 1.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{\frac{15}{2} - 5} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.4.2

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{\frac{15}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.4.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{\frac{15}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.4.4

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{15 - 5 \cdot 2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.4.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.5.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\int x^{\frac{15 - 10}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 1.4.5.2

从 $15$ 中减去 $10$ 。

$\int x^{\frac{5}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{\frac{5}{2}} d x + \int - 3 \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C + \int - 3 \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 4

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 \int \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 7

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 \int x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - \int \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 12

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

解题步骤 13

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + e^{x} + C + \int 2021 d x$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + e^{x} + C + 2021 x + C$

解题步骤 15

化简。

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + x^{5} - \frac{\ln (| x |)}{2} + e^{x} + 2021 x + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - \frac{9}{4} x^{\frac{4}{3}} + x^{5} - \frac{1}{2} \ln (| x |) + e^{x} + 2021 x + C$

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