微积分学示例

$\frac{12 \sqrt{x}}{4 x^{3}}$

解题步骤 1

约去 $12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $12 \sqrt{x}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (3 \sqrt{x})}{4 x^{3}}]$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (3 \sqrt{x})}{4 (x^{3})}]$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (3 \sqrt{x})}{4 x^{3}}]$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{x^{3}}]$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}]$

解题步骤 2.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3 - \frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{6 - 1}{2}}}]$

解题步骤 3.5.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 。

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 5.2.2

乘以 $\frac{5}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $- 1$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

解题步骤 5.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{2}}]$

解题步骤 5.2.3

将负号移到分数的前面。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{5}{2}$ 。

$3 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$3 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

解题步骤 10.2

从 $- 5$ 中减去 $2$ 。

$3 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$3 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

解题步骤 12

组合 $x^{- \frac{7}{2}}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$3 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

解题步骤 13

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$

解题步骤 14

组合 $- 3$ 和 $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ 。

$\frac{- 3 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2}$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 15 x^{- \frac{7}{2}}}{2}$

解题步骤 15.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{7}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{- 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 15.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

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