微积分学示例

$\ln (| 1 - x |)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | 1 - x |$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| 1 - x |$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

解题步骤 1.3

使用 $| 1 - x |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - x$ 。

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 2.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 2.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 3

将 $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ 乘以 $\frac{1}{| 1 - x |}$ 。

$\frac{1 - x}{| 1 - x | | 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{1 - x}{| (1 - x) (1 - x) |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 5

对 $1 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1} (1 - x) |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 6

对 $1 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1} {(1 - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 9

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 14

合并分数。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \cdot - 1$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{(1 - x) \cdot - 1}{| {(1 - x)}^{2} |}$

解题步骤 14.3

化简表达式。

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解题步骤 14.3.1

将 $- 1$ 移到 $1 - x$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| {(1 - x)}^{2} |}$

解题步骤 14.3.2

将 $- 1 (1 - x)$ 重写为 $- (1 - x)$ 。

$\frac{- (1 - x)}{| {(1 - x)}^{2} |}$

解题步骤 14.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |}$

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