微积分学示例

$y = 3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18)$

解题步骤 2

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$ 。

$\frac{d}{d t} [3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d t} [3 t^{7}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{7}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$3 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.2.3

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$21 t^{6} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d t} [- 6 t^{4}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 6 t^{4}$ 对 $t$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ 。

$21 t^{6} - 6 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$21 t^{6} - 6 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.3.3

将 $4$ 乘以 $- 6$ 。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d t} [8 t^{3}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $8 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 8 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 8 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.4.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d t} [- 12^{t}]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 12^{t}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [12^{t}]$ 。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $12$ 。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12) + \frac{d}{d t} [18]$

解题步骤 3.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.6.1

因为 $18$ 对于 $t$ 是常数，所以 $18$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12) + 0$

解题步骤 3.6.2

将 $21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$ 和 $0$ 相加。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = 21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

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