微积分学示例

$\int \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \ln (\cos (x))$ 。然后使 $d u_{2} = - \tan (x) d x$ ，以便 $- d u_{2} = \tan (x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \ln (\cos (x))$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (\cos (x))$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sec (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

重新排序 $\sec (x) (- \sin (x))$ 的因式。

$- \sec (x) \sin (x)$

解题步骤 1.1.5.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

解题步骤 1.1.5.3

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.1.5.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- \tan (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 5

化简。

$- \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 6

使用 $\ln (\cos (x))$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \ln (| \ln (\cos (x)) |) + C$

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