微积分学示例

${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}]$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln (e^{x} + x)$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

解题步骤 3.3

使用 $\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (e^{x} + x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)] - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = e^{x} + x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $e^{x} + x$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.3

使用 $e^{x} + x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

使用求加法法则求导。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{e^{x} + x}$ 和 $x$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x] - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6.2

根据加法法则， $e^{x} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

使用幂法则求微分。

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解题步骤 8.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 8.3

合并分数。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x)}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.2

组合 $e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$ 和 $\frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x)}{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x))}{x^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

将 $\frac{x}{e^{x} + x}$ 乘以 $e^{x} + 1$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} - \ln (e^{x} + x))}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.2

要将 $- \ln (e^{x} + x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{x} + x}{e^{x} + x}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} - \ln (e^{x} + x) \cdot \frac{e^{x} + x}{e^{x} + x})}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.3

组合 $- \ln (e^{x} + x)$ 和 $\frac{e^{x} + x}{e^{x} + x}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} + \frac{- \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x})}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.5

化简分子。

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解题步骤 9.1.5.1

运用分配律。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x \cdot 1 - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.5.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.5.3

运用分配律。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.6

组合 $e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$ 和 $\frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x}{e^{x} + x}$ 。

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.7

将 $\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x)}{e^{x} + x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

将 $\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}}{x^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 9.2.2

将 $\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{(e^{x} + x) x^{2}}$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{x^{2} (e^{x} + x)}$

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