微积分学示例

$302.2 (\frac{103^{x}}{100^{x}})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

组合 $302.2$ 和 $\frac{103^{x}}{100^{x}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{302.2 \cdot 103^{x}}{100^{x}}]$

解题步骤 1.2

因为 $302.2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{302.2 \cdot 103^{x}}{100^{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $302.2 \frac{d}{d x} [\frac{103^{x}}{100^{x}}]$ 。

$302.2 \frac{d}{d x} [\frac{103^{x}}{100^{x}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 103^{x}$ 且 $g (x) = 100^{x}$ 。

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{{(100^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(100^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{x \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $103$ 。

$302.2 \frac{100^{x} (103^{x} \ln (103)) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $103^{x} \cdot 100^{x}$ 重写为 ${(103 \cdot 100)}^{x}$ 。

$302.2 \frac{{(103 \cdot 100)}^{x} \ln (103) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

解题步骤 5.2

将 $103$ 乘以 $100$ 。

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

解题步骤 6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $100$ 。

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 103^{x} (100^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

将 $100^{x} \cdot 103^{x}$ 重写为 ${(100 \cdot 103)}^{x}$ 。

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - {(100 \cdot 103)}^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$

解题步骤 7.2

将 $100$ 乘以 $103$ 。

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$

解题步骤 7.3

组合 $302.2$ 和 $\frac{10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$ 。

$\frac{302.2 (10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{302.2 (10300^{x} \ln (103)) + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

乘以 $302.2 (10300^{x} \ln (103))$ 。

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解题步骤 8.2.1.1.1

将 $\ln (103)$ 和 $302.2$ 重新排序。

$\frac{302.2 \cdot \ln (103) \cdot 10300^{x} + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

解题步骤 8.2.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $302.2 \cdot \ln (103)$ 。

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

乘以 $302.2 (- 10300^{x} \ln (100))$ 。

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解题步骤 8.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $302.2$ 。

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - 302.2 (10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

解题步骤 8.2.1.2.2

将 $\ln (100)$ 和 $- 302.2$ 重新排序。

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - 302.2 \cdot \ln (100) \cdot 10300^{x}}{100^{2 x}}$

解题步骤 8.2.1.2.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 302.2 \cdot \ln (100)$ 。

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - \ln (100^{302.2}) \cdot 10300^{x}}{100^{2 x}}$

解题步骤 8.2.2

将 $\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - \ln (100^{302.2}) \cdot 10300^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{10300^{x} \ln (103^{302.2}) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})}{100^{2 x}}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

从 $10300^{x} \ln (103^{302.2}) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})$ 中分解出因数 $10300^{x}$ 。

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解题步骤 8.3.1.1

从 $10300^{x} \ln (103^{302.2})$ 中分解出因数 $10300^{x}$ 。

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2})) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})}{100^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2

从 $- 10300^{x} \ln (100^{302.2})$ 中分解出因数 $10300^{x}$ 。

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2})) + 10300^{x} (- \ln (100^{302.2}))}{100^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.3

从 $10300^{x} (\ln (103^{302.2})) + 10300^{x} (- \ln (100^{302.2}))$ 中分解出因数 $10300^{x}$ 。

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2}) - \ln (100^{302.2}))}{100^{2 x}}$

解题步骤 8.3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{10300^{x} \ln (\frac{103^{302.2}}{100^{302.2}})}{100^{2 x}}$

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