微积分学示例

$\int \frac{t^{2} - π \sqrt{t} + \sqrt{t} \csc (t)}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{t^{2} - π t^{\frac{1}{2}} + \sqrt{t} \csc (t)}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{t^{2} - π t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \csc (t)}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 1.2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{t^{2} - π t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \csc (t)}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

从 $t^{2} - π t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \csc (t)$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}} - π t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \csc (t)}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.3.1.2

从 $- π t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- π) + t^{\frac{1}{2}} \csc (t)}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.3.1.3

从 $t^{\frac{1}{2}} \csc (t)$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- π) + t^{\frac{1}{2}} (\csc (t))}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.3.1.4

从 $t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- π)$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{3}{2}} - π) + t^{\frac{1}{2}} (\csc (t))}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.3.1.5

从 $t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{3}{2}} - π) + t^{\frac{1}{2}} (\csc (t))$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{3}{2}} - π + \csc (t))}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{3}{2}} - π + \csc (t))}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.3.3

用 $t^{\frac{3}{2}} - π + \csc (t)$ 除以 $1$ 。

$\int t^{\frac{3}{2}} - π + \csc (t) d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int t^{\frac{3}{2}} d t + \int - π d t + \int \csc (t) d t$

解题步骤 3

根据幂法则， $t^{\frac{3}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C + \int - π d t + \int \csc (t) d t$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C - π t + C + \int \csc (t) d t$

解题步骤 5

$\csc (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 。

$\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C - π t + C + \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

解题步骤 6

化简。

$\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} - π t + \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例