微积分学示例

$\frac{2}{3} x y^{2} + 2 x - \frac{1}{3} x y^{2} + \frac{2}{3} x^{2} y - 5 x$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{2}{3} x y^{2} + 2 x - \frac{1}{3} x y^{2} + \frac{2}{3} x^{2} y - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{2 x}{3}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x y^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.3

因为 $\frac{2 y^{2}}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x y^{2}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2 y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.5

将 $\frac{2 y^{2}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 4.2

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{x}{3}$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2} x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 4.3

因为 $- \frac{y^{2}}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{y^{2} x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y]$ 。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{2 x^{2}}{3}$ 和 $y$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2} y}{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 5.3

因为 $\frac{2 y}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x^{2} y}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2 y}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{2 y}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{2 y}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 5.5

组合 $2$ 和 $\frac{2 y}{3}$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{2 (2 y)}{3} x + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 5.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y}{3} x + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 5.7

组合 $\frac{4 y}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 5 \cdot 1$

解题步骤 6.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 5$

解题步骤 7

合并项。

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解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

$\frac{2 y^{2} - y^{2}}{3} + 2 + \frac{4 y x}{3} - 5$

解题步骤 7.2

从 $2 y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{3} + 2 + \frac{4 y x}{3} - 5$

解题步骤 7.3

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$\frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 3$

微积分学 示例

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