微积分学示例

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = 1 + \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $1 + \ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$0 + \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

解题步骤 1.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

解题步骤 1.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

解题步骤 3

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

计算 $\frac{1}{4} u^{4}$ 在 $1 + \ln (3)$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 ${(1 + \ln (3))}^{4}$ 。

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

解题步骤 3.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

解题步骤 3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 3.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

小数形式：

$4.59918613 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例