微积分学示例

$y = \frac{5 + \tan (x)}{2 x + e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 5 + \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x + e^{x}$ 。

$\frac{(2 x + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 + \tan (x)] - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 + \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\frac{(2 x + e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 相加。

$\frac{(2 x + e^{x}) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $2 x + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) + (- 1 \cdot 5 - \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) + (- 5 - \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 5 - \tan (x)) (2 + e^{x})$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

运用分配律。

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 5 (2 + e^{x}) - \tan (x) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.2

运用分配律。

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 5 \cdot 2 - 5 e^{x} - \tan (x) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.3

运用分配律。

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 5 \cdot 2 - 5 e^{x} - \tan (x) \cdot 2 - \tan (x) e^{x}}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - \tan (x) \cdot 2 - \tan (x) e^{x}}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x) - \tan (x) e^{x}}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2

将 $2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x) - \tan (x) e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x) - e^{x} \tan (x)}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - e^{x} \tan (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x)}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

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