微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- d u = \sin (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

解题步骤 5

$\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arctan (u)]_{1}^{0}$ 。

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

解题步骤 6

计算 $\arctan (u)$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- (0 - \arctan (1))$

解题步骤 7.1.2

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$- (0 - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.2

从 $0$ 中减去 $\frac{π}{4}$ 。

$- - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.3

乘以 $- - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{π}{4}$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π}{4}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{4}$

小数形式：

$0.78539816 \dots$

微积分学 示例

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