微积分学示例

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- d u = \sin (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

解题步骤 4

使 $u = 2 \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \sec^{2} (t)$ 为正数。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.1

对 $2 \tan (t)$ 运用乘积法则。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 5.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 5.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 5.1.3

从 $4 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 5.1.4

从 $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 5.1.5

重新整理项。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 5.1.6

使用勾股恒等式。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 5.1.7

将 $4 \sec^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \sec (t))}^{2}$ 。

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 5.2

约去 $2 \sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $2 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $2 \sec (t)$ 。

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 5.2.3

重写表达式。

$- \int \sec (t) d t$

解题步骤 6

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

解题步骤 7

化简。

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

解题步骤 8

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 8.1

使用 $\arctan (\frac{u}{2})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

解题步骤 8.2

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$

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