微积分学示例

$y = \frac{12 e^{6 x} - 9 e^{8 x}}{3 e^{3 x}}$

解题步骤 1

约去 $12 e^{6 x} - 9 e^{8 x}$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $12 e^{6 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x}) - 9 e^{8 x}}{3 e^{3 x}}]$

解题步骤 1.2

从 $- 9 e^{8 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x}) + 3 (- 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

解题步骤 1.3

从 $3 (4 e^{6 x}) + 3 (- 3 e^{8 x})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

解题步骤 1.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $3 e^{3 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 (e^{3 x})}]$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

解题步骤 1.4.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}}{e^{3 x}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}$ 且 $g (x) = e^{3 x}$ 。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(e^{3 x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]$ 。

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [4 e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 e^{6 x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ 。

$\frac{e^{3 x} (4 \frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $6 x$ 。

$\frac{e^{3 x} (4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{3 x} (4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 4.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{e^{3 x} (4 (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{3 x} (4 e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.4

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 e^{8 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $8 x$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 6.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 7.2

将 $8$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x} \cdot 1) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 7.4

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

解题步骤 9

求微分。

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解题步骤 9.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

解题步骤 9.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

解题步骤 9.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

解题步骤 9.4

将 $e^{3 x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) + (- 3 (4 e^{6 x}) - 3 (- 3 e^{8 x})) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.3

运用分配律。

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4

化简分子。

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解题步骤 10.4.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{24 e^{3 x} e^{6 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.2

通过指数相加将 $e^{3 x}$ 乘以 $e^{6 x}$ 。

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解题步骤 10.4.1.2.1

移动 $e^{6 x}$ 。

$\frac{24 (e^{6 x} e^{3 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{24 e^{6 x + 3 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.2.3

将 $6 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{24 e^{9 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{3 x} e^{8 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.4

通过指数相加将 $e^{3 x}$ 乘以 $e^{8 x}$ 。

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解题步骤 10.4.1.4.1

移动 $e^{8 x}$ 。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 (e^{8 x} e^{3 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{8 x + 3 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.4.3

将 $8 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.5

通过指数相加将 $e^{6 x}$ 乘以 $e^{3 x}$ 。

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解题步骤 10.4.1.5.1

移动 $e^{3 x}$ 。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 (e^{3 x} e^{6 x})) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{3 x + 6 x}) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.5.3

将 $3 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{9 x}) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.6

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.7

通过指数相加将 $e^{8 x}$ 乘以 $e^{3 x}$ 。

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解题步骤 10.4.1.7.1

移动 $e^{3 x}$ 。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 (e^{3 x} e^{8 x}))}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{3 x + 8 x})}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.7.3

将 $3 x$ 和 $8 x$ 相加。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{11 x})}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.1.8

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} + 9 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.2

从 $24 e^{9 x}$ 中减去 $12 e^{9 x}$ 。

$\frac{12 e^{9 x} - 24 e^{11 x} + 9 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.4.3

将 $- 24 e^{11 x}$ 和 $9 e^{11 x}$ 相加。

$\frac{12 e^{9 x} - 15 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.5

从 $12 e^{9 x} - 15 e^{11 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 10.5.1

从 $12 e^{9 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 e^{9 x}) - 15 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.5.2

从 $- 15 e^{11 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 e^{9 x}) + 3 (- 5 e^{11 x})}{e^{6 x}}$

解题步骤 10.5.3

从 $3 (4 e^{9 x}) + 3 (- 5 e^{11 x})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 e^{9 x} - 5 e^{11 x})}{e^{6 x}}$

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