微积分学示例

$\ln (| x^{2} - 1 |)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | x^{2} - 1 |$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| x^{2} - 1 |$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

解题步骤 1.3

使用 $| x^{2} - 1 |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

解题步骤 2.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

解题步骤 3

将 $\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |}$ 乘以 $\frac{1}{| x^{2} - 1 |}$ 。

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{x^{2} - 1}{| (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 5

对 $x^{2} - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 6

对 $x^{2} - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} {(x^{2} - 1)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 9

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + 0)$

解题步骤 12

合并分数。

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解题步骤 12.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x)$

解题步骤 12.2

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} x$

解题步骤 12.3

组合 $\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

解题步骤 13.3

化简每一项。

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解题步骤 13.3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.3.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

解题步骤 13.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 13.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

解题步骤 13.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

解题步骤 13.3.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

解题步骤 13.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

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